"Woher
kommt die Lücke" auf www.flei.net
So, wie Du im Hobbycorner
vielleicht schon gelesen hast, faszinieren mich optische Täuschungen.
Die folgende Datei findest Du dort auch nochmal, sie wurde mir per Mail
zugesandt.
Prinzip dieser Form ist ganz einfach: Es sind die selben Teile, zusammengesetzt
in 2 verschiedenen Weisen. Das unglaubliche hierbei ist, dass bei der zweiten
Form eine Lücke entsteht. Das kann eigentlich nicht sein, weil der
Flächeninhalt immer gleich sein sollte.
Es kursieren im WWW (Suche über Web.de
oder Google)
Lösungen für dieses Rätsel, wie:
- das obere Dreieck ist größer
- die Hypotenuse hat einen Knick nach innen und einmal nach außen, und dadurch
entsteht das leere Kästchen
- es wird per Winkelfunktion bewiesen, dass die beiden Dreiecke nicht den
gleichen Flächeninhalt haben
-....
Ich halte diese Lösungen für Unsinn. Es hört sich bloß so toll und einfach
an, und deshalb macht sich auch niemand die Mühe nach einer besseren Lösung zu
suchen.
Workshop:
Man nehme ein Stück Rechenpapier und zeichne ein Dreieck,
13 Felder breit, 5 Felder hoch, und ziehe dann die Hypotenuse
mit einem gerade Lineal. Zeichne die Felder so wie auf dem Bild ein
und zerschneide das Ganze.
Lege die Teile wie auf dem ersten Bild >> ein Dreieck !!
Lege die Teile wie auf dem zweiten Bild >> Ein Dreieck mit Lücke !!
So, ich habe EIN Dreieck (selbst gezeichnet und ausgeschnitten) und
trotzdem kommt diese Lücke zum Vorschein.
Da ist jetzt nichts mehr mit Knick in der Hypotenuse mal nach
innen und mal nach außen, es ist ein und dasselbe Dreieck, das
ich nur in 2 verschiedenen Weisen lege.
Zugegeben, ich habe z.Z. keine bessere Erklärung für dieses Phänomen, aber ich werde weiter danach
suchen.
Wenn Du diesen wissenschaftlichen Humbug auch nicht glauben willst, dann mail
mir, vielleicht kommt uns dann der springende Gedanke.
02.11.04
Nachdem sich dann doch einige per Mail gemeldet haben, um mich noch mal von den
vorhandenen Theorien zu überzeugen, muss ich mich vielleicht doch mal etwas
deutlicher ausdrücken.
Mal abgesehen von der oben dargestellten Grafik und Animation (diese sollen ja
nur das Prinzip vermitteln): Eine Hypotenuse ist immer eine Gerade (sollte
eigentlich so in der Geometrie sein), wenn ich mir das Ganze also auf ein Blatt
Papier kritzel, dann hat die Hypotenuse keinen Knick, wenn ich nicht absichtlich
eine hinein zeichne. Ich habe dann also ein Dreieck mit 3 geraden Seiten.
Deshalb ist auch nicht wichtig, ob die Schnittpunkte der Hypotenuse in der
obigen Grafik die Kästchen einmal so und einmal so schneiden; wenn ich mir das
Ganze selber bastel, dann gibt´s nur eine Hypotenuse und die verläuft immer
gleich.
Einmal zu der Anzahl der Kästchen: das Dreieck ist 13 Kästchen breit und 5
Kästchen hoch, die kleinen Dreiecksteilchen sind einmal 8 breit und 3 hoch, und
einmal 5 breit und 2 hoch.
Die beiden anderen Elemente bilden in jeder der 2 Abbildungen ein Rechteck,
einmal 8 breit und 2 hoch, und einmal 5 breit und 3 hoch.
Schon von dieser Seite her kann man sehen, dass da eigentlich nicht getrickst
werden kann, denn die beiden Dreiecke können in jeder der beiden
Zusammenstellungen an den Quader angelegt werden, ohne das so gesehen ein Feld
übrig bleibt bzw. ein Leerraum entsteht
Ein Tipp, den ich auch per Mail bekommen habe, ist, sich das Ganze einmal
größer auf zu zeichnen.
Ich habe das mal getan, im Verhältnis 1:3, also ist mein Dreieck jetzt nicht
mehr 13 breit und 5 hoch, sondern 39 breit und 15 hoch. Sehr anschaulich. Auf
diese Weise kann man auch sehen, dass da nirgendwo ein Leerraum entsteht der
dann die Lücke (jetzt schon 3x3 groß) entstehen lässt.
Um vielleicht mal etwas klarer darzustellen, worum es sich hier handelt:
Es ist eigentlich ein Tangramspiel (auch bei meinen Games
- Geschicklichkeit).
Man bekommt eine Form vorgegeben, und muss diese mit einigen Teilen füllen,
damit die ganze Fläche bedeckt ist.
In diesem Beispiel habe ich eine Dreiecksfläche, die mit den Teilen so
bestücken kann, dass einmal alles bedeckt ist, und einmal entsteht eine
zusätzliche Lücke.
Das ist das Prinzip dieses Rätsels. Mehr nicht, und ich möchte ja jetzt auch
nur wissen, warum entsteht die Lücke einmal und einmal ist sie nicht da, und
das bei gleichem Flächeninhalt.
Fazit : Das Rätsel ist noch nicht gelöst. Ich freue mich auf weitere Lösungsvorschläge.
08.11.04
Ok, nach vielen weiteren Mails und weiteren Gedanken, wie so was zustande kommt,
muss ich zugeben, dass die Lösungen im Netz doch recht vertretbar sind.
Ich kann zwar bis heute noch nicht erklären, wie das möglich ist, Fakt ist
aber:
Es handelt sich hierbei um kein Dreieck, denn sowohl die beiden spitzen Winkel
als auch die beiden stumpfen Winkel der kleinen Dreiecke sind jeweils nicht
gleich.
Es handelt sich hierbei also nicht (wie von mir vorher angenommen) um eine
Parallelverschiebung, sondern vielmehr um eine optische Raffinesse.
Auf Grund dieser Tatsache hat die Hypotenuse wirklich einen kleinen Knick, der
einmal nach außen und einmal nach innen zeigt.
Dieses sollte auch dann klar heraus kommen, wenn man das Dreieck beim selber
zeichnen auch genau ausschneidet, also man zeichnet zwar eine gerade Hypotenuse,
aber man sollte die Teile auch so ausschneiden, wie sie wirklich sind und nicht
so ausschneiden, wie man sie gerne hätte, nämlich dass dieser optische Trick
funktioniert. Das ist nämlich wirklich der ganze Trick, man zeichnet zwar ein
wirkliches Dreieck, aber schneidet es dann so aus, dass solche kleine
Unfeinheiten gar nicht auffallen. Mein Tipp ist, das Ganze mal in einem
größeren Verhältnis zu zeichnen, dann sollte schon klar werden, was ich an
dieser Stelle meine.
Außerdem ist es auch noch sinnvoll, die Flächenberechnung heranzuziehen, die
beiden Flächen unterscheiden sich nämlich um 0,5 E.
Folgender Link kann hierzu noch weiteres erläutern: Pflastersteine
Auch dieser Link versucht dieses Phänomen auf zu greifen: Gardner's-Dreieck
Es handelt sich hierbei also ohne Zweifel um ein Paradoxon,
welches per optischen Tricks versucht, uns vorzugaukeln, sowas wäre möglich.
Fazit: Bis auf weiteres ist mein Wissensdurst in dieser Sache gesättigt,
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